Всего: 197 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
В треугольнике АВС отрезки АК, ВL и СМ — высоты, Н — их точка пересечения, S — точка пересечения МК и ВL, Р — середина отрезка АН, Т — точка пересечения прямой LР и стороны АВ. Доказать, что прямая SТ перпендикулярна стороне ВС.
Отсюда 
На плоскости дан отрезок АВ длины 1 и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF, лежащие по одну сторону от АВ. Пусть P и Q — точки пересечения диагоналей этих квадратов соответственно. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, когда точка М пробегает весь отрезок АВ.
Значит, расстояние от середины PQ до АВ равно 
Далее, если обозначит, длину АХ через 
то длина АY равна 
и расстояние от А до проекции середины PQ равно полусумме этих длин, то есть 
что находится в пределах от 
до 
Таким образом, мы доказали, что середина PQ всегда лежит на указанном в ответе отрезке ST. Заметим, что точки P и Q при этом перемещаются по катетам АК и ВК треугольника АКВ из ответа. 
В четырёхугольнике АВСD точки P, Q, R, S — середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно, а T — точка пересечения отрезков PR и QS. Докажите, что сумма площадей четырёхугольников APTS и СRTQ равна половине площади четырёхугольника АВСD.
по теореме, обратной теореме Фалеса это влечёт параллельность PQ и АВ (и то, что отношение их длин равно 1 к 3). Аналогично доказывается параллельность остальных пар сторон. Строго говоря, отсюда следует подобие четырёхугольников с коэффициентом 
но это для решения задачи не нужно.
площади четырёхугольника XYZT. Покажем, что площадь последнего четырёхугольника равна половине площади ABCD. Заметим, что отрезок XY является средней линией треугольника АВС, поэтому площадь треугольника XBY равна четверти площади треугольника ABC. Аналогично, площадь треугольника ZDT равна четверти площади треугольника CDA, а сумма площадей XBY и ZDT равна четверти площади ABCD. Так же доказывается, что и сумма площадей YCZ и TAX равна четверти площади ABCD. Наконец, площадь XYZT равна разности площадей ABCD и треугольников XBY, ZDT, YCZ и TAX, то есть половине площади ABCD. Окончательно, площадь четырёхугольника равна 
площади четырёхугольника ABCD.
Докажите, что величины углов РВС и АМР равны.Могут ли в некотором остроугольном треугольнике АВС точки пересечения биссектрисы угла А, высоты, проведённой из вершины В и медианы, проведённой из вершины С являться вершинами невырожденного равностороннего треугольника?
Различные прямые a и b пересекаются в точке О. Рассмотрим всевозможные отрезки АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно, и обозначим за Р точку пересечения перпендикуляров к прямым a и b, восстановленным из А и В соответственно. Найти геометрическое место точек Р.
где x — угол между прямыми a и b. Как мы уже заметили, ОР является диаметром этой окружности, следовательно, ОР всегда равен 
то есть точка Р всегда принадлежит окружности с центром О радиусом 
Угол АРВ равен x или 180 − x, следовательно, по теореме синусов АВ равен 
и точка Р является точкой пересечения перпендикуляров АР и ВР, восстановленных из концов отрезка АВ длины l, концы А и В которых лежат на a и b соответственно. Исключительный случай перпендикулярных прямых проверяется аналогично.
тогда ADBC — параллелограмм (см. рис.). В треугольнике проведем медиану, тогда 
Таким образом, треугольник ADE — равнобедренный с углом 
то есть ADE — равносторонний. Следовательно, в треугольнике ABD медиана DE равна половине стороны AB, к которой она проведена, значит, треугольник ABD прямоугольный 
Тогда 
аналогичные обозначения введём для остальных рёбер.
и 
Заметим, что отрезок 
средняя линия в треугольнике 
значит, он равен половине ребра 
по длине и параллелен этому ребру. Но то же самое можно сказать и про ребро 
значит, эти отрезки параллельны и равны, т. е. образуют параллелограмм. Таким образом, четыре вершины, которые должны образовывать правильный тетраэдр, оказались лежащими в одно й плоскости. 
и 
—
а значит, подобен ему с коэффициентом 
откуда 
Кроме того, 
и 
так как 
и 
средние линии в треугольниках ABD и ACD соответственно. 
(и, очевидно, треугольника 
—
в то же время 
составляет 
от медианы треугольника 
Кроме того, они перпендикулярны, так как 
Треугольник 
а значит, подобен ему с коэффициентом 
Кроме того, 
и 
так как 
в то же время 
Kpoме того, они перпендикулярны, так как 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
и 
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом 
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
и 
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть P — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Луч BP пересекает сторону DA в точке M, а луч DQ пересекает сторону BC в точке N. Оказалось, что 
и 
а) Найдите отношение 
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон AB и CD.
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения 
откуда 
б) 
